Excel 微分基礎與應用場景
什麼是微分？理論與實務意義
微分是數學中用來描述變量變化率的工具，常用於分析函數在某一點的變化趨勢。簡單來說，微分可協助我們判斷數據成長或衰減的速度。
在實務上，微分廣泛應用於物理（如速度、加速度計算）、經濟（如邊際收益分析）、工程（如信號變化偵測）、專案管理（如進度變化率追蹤）等領域。
微分與導數的關係
導數是微分的具體表現，代表函數在某點的瞬時變化率。在Excel中，我們通常透過差分法來近似導數，進行實際數據分析。
Excel進行微分的常見需求
- 追蹤專案進度變化率，及早發現異常
- 分析銷售數據變化，預測市場趨勢
- 處理科學實驗數據，如滴定曲線的變化點
- 評估生產流程效率，找出瓶頸環節
Excel 微分操作步驟
數據準備與格式要求
在Excel進行微分前，需確保數據格式正確。
– x值（自變數）建議放在A欄
– f(x)值（因變數）建議放在B欄
– 數據需依x值遞增排序
– 若x值間距不等，需特別處理（詳見後述）
數據清洗建議
- 檢查是否有遺漏值或異常值
- 確認x值無重複，且間距合理
- 若為實驗數據，建議先進行平滑處理
範例數據說明
以專案進度追蹤為例，假設有如下數據：
| x（日期/時間） | f(x)（完成百分比） |
|---|---|
| 1 | 20 |
| 2 | 35 |
| 3 | 50 |
| 4 | 65 |
| 5 | 80 |
Excel 公式法進行微分
一次微分：差分公式與操作步驟
一次微分可用差分法近似，公式如下：
f'(x) ≈ (f(x+h) – f(x)) / (x+h – x)
操作步驟
- 在C1輸入標題「f'(x)」。
- 在C2輸入公式：
=(B3-B2)/(A3-A2) - 將C2的公式向下拖曳，填滿所有相鄰數據點。
首尾數據點處理
- 首個數據點無法計算前一點，可留空或用後向差分
- 最後一點同理，可留空或用前向差分
實務應用舉例
- 分析某天專案進度變化率，判斷是否異常加速或延遲
二次微分：變化率的變化
二次微分可用二次差分法，公式如下：
f”(x) ≈ (f(x+h) – 2f(x) + f(x-h)) / (h^2)
操作步驟
- 在D1輸入標題「f”(x)」。
- 在D3輸入公式：
=(B4-2*B3+B2)/((A4-A3)^2) - 向下拖曳，填滿可計算的區間。
應用場景
- 偵測進度變化的加速度，如突發性進度跳躍
不等間距數據的處理
若x值間距不等，需調整公式：
f'(x) ≈ (f(x2) – f(x1)) / (x2 – x1)
- 公式與等間距相同，但每一組都需用對應的x值差
- 若需更高精度，可考慮插值法或VBA自訂
常見錯誤
- 忽略x值間距，導致微分結果失真
- x值重複或遺漏，公式出錯
結果解釋與應用
- 一次微分結果代表每個區間的變化率
- 二次微分結果可用來判斷變化趨勢是否加劇或減緩
- 在專案管理中，可用於預警進度異常
Excel VBA 進階微分技巧
自訂VBA微分函數
當數據量大、需批次處理或動態範圍時，VBA自訂函數更具彈性。
VBA範例：一次微分自訂函數
- 按下
Alt + F11開啟VBA編輯器 - 插入模組，貼上以下代碼：
Function Derivative(xRange As Range, yRange As Range, idx As Integer) As Variant
If idx <= 1 Or idx >= xRange.Count Then
Derivative = CVErr(xlErrNA)
Else
Derivative = (yRange.Cells(idx + 1, 1) - yRange.Cells(idx - 1, 1)) / (xRange.Cells(idx + 1, 1) - xRange.Cells(idx - 1, 1))
End If
End Function
- 在Excel中，於C3輸入：
=Derivative(A2:A6, B2:B6, ROW()-1)
參數說明
- xRange：x值範圍
- yRange：f(x)值範圍
- idx：欲計算的資料索引（第幾行）
適用情境
- 大量數據自動化微分
- 不等間距數據
- 需自訂微分階數
VBA與公式法比較
| 方法 | 優點 | 限制 |
|---|---|---|
| 公式法 | 操作簡單、適合小型數據 | 不易批次處理、不適合複雜需求 |
| VBA | 彈性高、可自動化、適合大量數據 | 需基礎程式知識、維護較複雜 |
微分結果視覺化與常見問題
繪製微分結果圖表
- 選取x值與微分結果欄位
- 插入「折線圖」或「散點圖」
- 標註軸標題與單位，便於解讀
實務案例
- 滴定曲線分析：一次微分找等當點，二次微分找最大變化點
- 銷售數據：微分圖表快速判斷市場拐點
常見錯誤與排解
-
錯誤：#DIV/0!
原因：x值重複或間距為零。
解法：檢查x值欄位，避免重複或遺漏。 -
錯誤：#VALUE!
原因：公式範圍錯誤或資料格式不符。
解法：確認公式參照正確，數據皆為數值型態。 -
微分結果異常大或小
原因：數據單位不一致或間距未調整。
解法：統一單位，檢查公式是否正確引用x值差。
推薦工具與進階應用
Excel插件/第三方工具輔助微分
若需進行更複雜的數據分析或自動化流程，可考慮結合下列工具：
- Monday.com：適合進行專案進度追蹤與數據自動化，能將微分分析結果整合至專案儀表板，提升團隊協作效率。
- ClickUp：支援任務數據分析與自訂報表，適用於進階專案管理。
- Notion：能將微分結果與專案知識庫整合，方便團隊共享與追蹤。
適用情境
- 需將微分分析自動化整合至專案管理流程
- 多人協作、需即時共享分析結果
- 需進行跨部門數據整合
微分在專案管理/數據分析中的應用案例
- 專案進度異常預警：透過微分分析進度數據，及早發現進度落後或超前，便於調整資源配置。
- 市場趨勢偵測：對銷售數據進行微分，快速找出成長或衰退拐點，輔助決策。
- 實驗數據分析：如滴定曲線，微分協助精確判斷反應終點。
總結與行動建議
方法選擇建議與限制說明
- 小型、等間距數據：建議用Excel公式法，快速且直觀
- 大型或不等間距數據：建議用VBA自訂函數，彈性高
- 需自動化或團隊協作：可考慮結合Monday.com等專案管理工具
- 微分僅為近似值，對於極高精度需求建議使用專業數值分析軟體
開始你的數據分析之旅
無論你是專案經理、數據分析師，還是希望提升效率的上班族，善用Excel微分技巧都能大幅提升你的數據洞察力。建議你根據實際需求選擇合適的方法，並可嘗試將分析流程整合至如Monday.com等數位工具，進一步優化工作流程。
FAQ
Excel能否自動計算導數？
Excel無內建導數函數，但可透過差分公式或VBA自訂函數近似計算。
如何處理不等間距的x值？
需在每一步計算時，使用對應的x值差作為分母，避免假設等間距。
如何進行二次微分？
可用二次差分公式，需三個相鄰點資料，公式詳見上文。
微分結果如何繪圖？
選取x值與微分結果，插入折線圖或散點圖，即可視覺化變化率。
VBA與公式法的優缺點比較？
公式法適合小型、簡單數據；VBA則適合大量、複雜或需自動化的情境。
