什麼是反矩陣？Excel能做什麼？
反矩陣（Inverse Matrix）是線性代數中的重要概念。對於一個n×n的方陣A，如果存在另一個n×n的矩陣B，使得A×B與B×A都等於單位矩陣I，則B稱為A的反矩陣。反矩陣廣泛應用於解聯立方程式、資料分析、工程計算及專案管理中的資源分配模型等場景。
在日常工作中，專案經理或資料分析師常需處理多變數的數據關係，例如預算分配、資源調度、績效評估等。Excel提供了強大的矩陣運算功能，讓非程式背景的知識工作者也能快速進行反矩陣計算，簡化複雜的數學推導。
應用情境舉例：
– 解決多部門間資源分配的最佳化問題
– 分析多變數回歸模型中的參數估算
– 專案時程壓縮與成本分析
Excel計算反矩陣的步驟教學
步驟一：輸入矩陣資料
在Excel工作表中，先輸入欲計算反矩陣的方陣。舉例來說，若有一個3×3的矩陣，請在A1:C3區塊依序輸入九個數字。
注意事項：
– 反矩陣僅適用於方陣（行數=列數），如2×2、3×3、4×4等。
– 請確認資料無遺漏，且每個儲存格皆為數值。
範例數據：
| A | B | C |
|—|—|—|
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 1 | 4 |
| 5 | 2 | 0 |
步驟二：使用MINVERSE函數
MINVERSE語法與參數
=MINVERSE(array)
- array：欲計算反矩陣的方陣儲存格範圍（如A1:C3）。
操作步驟
- 選取一個與原始矩陣相同大小的空白範圍（如D1:F3）。
- 在公式列輸入：
=MINVERSE(A1:C3) - 新版Excel（支援動態陣列公式，如Office 365、Excel 2019/2021及Web版）：
直接按下Enter，反矩陣結果會自動填入所選範圍。 - 舊版Excel（不支援動態陣列公式）：
輸入公式後，需同時按下Ctrl+Shift+Enter，Excel才會以陣列公式計算並填入反矩陣。
補充說明：
– 若輸入的不是方陣，MINVERSE會回傳錯誤訊息。
– 輸入範圍需與原矩陣完全對應，否則結果不正確。
步驟三：取得反矩陣結果與錯誤排解
完成上述步驟後，所選範圍即顯示反矩陣。若遇到錯誤訊息，請參考下列說明：
| 錯誤訊息 | 可能原因 | 解決方式 |
|---|---|---|
| #VALUE! | 輸入範圍非方陣或含有非數值資料 | 檢查範圍是否為n×n方陣，且每格皆為數值 |
| #NUM! | 矩陣不可逆（行列式為0） | 檢查原矩陣是否有線性相關行或列，嘗試更換數據 |
| #REF! | 輸出範圍不足 | 重新選取與原矩陣同尺寸的空白範圍 |
圖示操作建議：
– 建議將原矩陣與反矩陣分開顯示，方便比對與驗證。
– 若需多次運算，可將公式複製至其他區塊，並調整參照範圍。
如何驗證反矩陣計算正確？
反矩陣計算完成後，建議進行驗證，以確保結果正確。常用方法為將原矩陣與反矩陣相乘，若結果為單位矩陣（主對角線為1，其餘為0），則計算正確。
使用MMULT函數驗證
- 選取與原矩陣相同大小的空白範圍（如G1:I3）。
- 輸入公式：
=MMULT(A1:C3, D1:F3) - 新版Excel： 直接按Enter。
- 舊版Excel： 按Ctrl+Shift+Enter。
預期結果：
| G | H | I |
|—|—|—|
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
這即為單位矩陣，代表反矩陣計算正確。
反矩陣計算常見問題與限制
- 非方陣不可計算反矩陣：MINVERSE僅適用於n×n方陣，若輸入2×3或3×2等非方陣，將出現#VALUE!錯誤。
- 行列式為0時不可逆：若矩陣的行或列彼此線性相關（如某行為另一行的倍數），則行列式為0，MINVERSE會顯示#NUM!錯誤。
- 資料格式錯誤：若矩陣中有空白或非數值，會導致#VALUE!錯誤。
- 尺寸限制：MINVERSE支援的最大矩陣尺寸依Excel版本與系統資源而異，通常可處理至50×50以上，但過大矩陣運算速度會明顯下降。
不可逆矩陣處理建議：
– 檢查數據來源，避免重複或線性相關行列。
– 若僅需近似解，可考慮其他數值方法（如最小平方法）。
Excel反矩陣的進階應用與實務案例
解聯立方程式範例
假設有以下三元聯立方程式：
2x + y + 3z = 9
y + 4z = 8
5x + 2y = 7
可轉換為矩陣形式：
A × X = B
A為係數矩陣，X為未知數向量，B為常數向量。
在Excel中，先輸入A與B，計算A的反矩陣，再用MMULT將A的反矩陣與B相乘，即可得到X的解。
專案管理與資料分析應用
在專案管理中，資源分配與時程壓縮常涉及多變數的最佳化問題。以Monday.com等專案管理平台為例，若需進行資源負載平衡，可先在Excel利用反矩陣計算最適分配，然後將結果同步至平台，提升決策效率。
資料分析師則可結合Excel的反矩陣運算，進行多變數回歸分析、風險評估等，快速驗證模型假設。
常見問答（FAQ）
MINVERSE能否處理非方陣？
不行。MINVERSE僅支援n×n方陣，非方陣無法計算反矩陣。
反矩陣與轉置矩陣有何不同？
反矩陣是使A×A⁻¹=I的矩陣，僅存在於可逆方陣；轉置矩陣則是將原矩陣的行與列對調，兩者意義與用途完全不同。
反矩陣計算有無尺寸限制？
理論上可處理較大方陣，但受限於Excel版本與電腦效能，過大矩陣可能運算緩慢或失敗。一般建議控制在50×50以內。
如何處理MINVERSE出現#NUM!錯誤？
這通常表示矩陣不可逆。請檢查數據是否有重複行列或線性相關，必要時調整數據內容。
總結與推薦
Excel的MINVERSE函數讓反矩陣計算變得簡單易行，無論是解聯立方程式、專案資源分配還是資料分析，都能大幅提升效率。建議在日常工作中靈活運用此功能，並結合如Monday.com等數位工具，打造更高效的專案管理與決策流程。
